aula 28-Equações e inequações que envolvem a função Cosseno

Resumo Teórico

A FUNÇÃO COSSENO DEFINIDA EM /R POR F(x) = COS x TEM AS SEGUINTES CARACTERÍSTECAS:

A) Domínio de f: D(f)=/R

B) Contadomínio de f: CD(f)=/R

C) Conjunto-imagem: Im(f)= (-1;1)

D) Para 30°, 330° temos:

F) Para 45°, 315°, 135°, 225° temos:



E) Para 60°, 300°, 120°, 240° temos:

Exercício:

Resolver a inequação 2 cos x - 1 < 0 sabendo que 0° < x < 360°.

Resposta:

Cos x = 1
Cos x <>

S = ( x E R / 30° <>

aula 28

Aula 27- Função Cosseno

Definição

O cosseno de um arco trigonométrico AP, de extremidade P, é a abscissa do ponto P. Representa-se:
A cada número real X corresponde um único ponto P, extremidade do arco AP de medida X. A cada ponto P, por sua vez, corresponde uma única acscissa chamada cosseno de X.
A função de Reais em Reais que a Cada numero real X associa a abscissa do ponto P é, a função cosseno.

Observações

A definição dada é coerente com auqela apresentada no triângulo retângulo.
Cos x : Cateto adjacente sobre hipotenusa.

Variação de função Cosseno

Enquanto o ponto P percorre a primeira volta, no sentido anti-horário, o número real X varia de 0° a 360° e o cosseno de X varia de -1 a 1.

Propriedades

Podemos concluir que a função cosseno é:
positiva no primeiro e no quarto quauadrantes; negativa no segundo e no terceiro quadrantes.
cos 40°>0
cos 200°<>0

Crescente no terceiro e no quarto quadrantes; decrescente no primeiro e no segundo quadrantes.
cos 10°>cos 20°
cos 230°>cos 220°
cos 135°>cos 140°
cos 320°>cos315°

Aula 26- Equações e inequações que envolvem a função seno

Resumo Teórico

A função seno em Reais por f(x)= sen x tem as seguintes características:
*.* Dominio de f: D9f)- Reais
*.* Contradomínio de f: CD(f) = Reais
*.* Conjunto imagem: Im (f) = [-1; 1]
*.* Gráfico: Senóide

*.*Para 30°.150°210° e 330° temos:*.* Para 45°, 135°, 225° e 315° temos:

*.* Para 60°,120°,140° e 300° temos:

*.* Para 0°, 90°, 180°, 270° temos:Exercícios

1-)Resolver a inequação 2sen X -1>0 sabendo que 0°

Resolução:

2.SenX -1> o
2.Sen X> 1
Sen X> 1/2 (sen 30°)

Sen={X e Reais/ 30°<>

Aula 25- Função Seno

Introdução

No ciclo trigonométrico de origem A, um sistema cartesiano ortogonal xOy conforme mostra a figura. O ciclo está cortado em 4 quadrantes. Quando dizemos que um arco AP pertence ao segundo quadrante queremos dizer que a extremidade P pertence ao segundo quadrante.

Definição de função seno

O seno de um arco trigonométrico AP, de extremidade P é a ordenada do ponto P. Representa-se:

A função de R em R que a cada número real x associa a ordenada do ponto P é, a função seno.

Observação

A definição acima é coerente com aquela apresentada no triângulo retângulo.

A variação da função seno

Enquanto o ponto P percorre a primeira volta, no sentido anti-horário, o número real x varia de 0º a 360º e o seno de x varia de 1 a -1.

Propriedades

Podemos concluir que a função de seno é:
Positiva no primeiro e no segundo quadrante negativa no terceiro e no quarto quadrante.
Crescente no primeiro e no quarto quadrante e decrescente no segundo e no terceiro quadrante.
Ímpar pois seno de (-x) é igual a -seno de x.

Periódica de período 2 r (pi).

Exercícos

1-) Calcule o valor de:
A-)sen 420°
B-) sen 750°

Resolução:

A-) 420° dividido por 360° = a 1, com valor em graus de 60°

B-) 750° dividido por 360° = a 2, com valor em graus de 30°

Aula 24- Ciclo trigonométrico- determinações

Ciclo Trigonométrico

Ciclo Trigonométrico é uma circunferência de raio unitário na qual fixamos um ponto (A), como origem dos arcos e adotamos o sentido anti-horário como sendo o positivo.

Arco Trigonométrico

O arco trigonométrico AP é o conjunto dos " infinitos " arcos de origem A e extremidade P.
Esses arcos são obtidos partindo-se da origem A e girando em qualquer sentido ( positivo e negativo ) até a extremidade P, seja na primeira passagem ou após várias voltas completas no ciclo trigonométrico.

O ângulo trigonométrico AÔP é o conjunto dos " infinitos " ângulos de lado inicial OA e lado terminal OP.


Conjunto das determinações de um arco.

Seja P um ponto qualquer de um ciclo trigonométrico de origem A.
A medida do arco AP, de origem A e extremidade P:

a-) positiva se o sentido de percurso de A para P for o anti-horário.
b-) negativa se o sentido de percurso de A para P for o horário.

Exercícios

1-) Calcular a 1ª determinação positiva dos arcos:

a-) 1630º
b-) -1630º
c-) 2100º

Resolução:

a-)1630° dividido por 360° = 4 voltas e em gral dado em 190°
b-)-1630 dividido por 360° = 4 voltas e em gral dado em -190°
c-)2100° dividido por 360° = 5 voltas e em gral dado em 300°

Aula 23- Medidas de arcos e ângulos.

1-) Arcos na circunferência

Imaginemos uma circunferência com dois pontos A e B. Com isso a circunferência dividida em duas partes chamadas ARCOS. Os pontos A e B são as extremidades desses arcos.

Quando esses pontos se coincidem, um arco é chamado arco nulo e o outro, arco de uma volta!

2-) Medida de um arco em graus
O arco de uma volta mede 360° e o arco nulo mede 0°.
O arco de 1 grau (representado pelo símbolo 1°) é um arco igual a 1/360 do arco de uma volta.

Os submúltiplos do grau são o minuto e o segundo.

O arco de um minuto ( 1' ) é um arco igual a 1/60 de arco de um grau.

1° = 60'

O arco de um segundo ( 1" ) é um arco igual a 1/60 do arco de um minuto.

1' = 60"

1° = 60' = 3600"

3-) Medida de um arco em radianos
A medida de um arco, em radianos, é a razão entre o comprimento do arco e o raio da circunferência sobre a qual este arco está determinado:



Exercícios:

1-)Quantos minutos tem o arco de 30°?
[RESOLUÇÃO]
1°_________60'
30°________ X
X = 30.60
X = 1800 minutos

2-)Quantos segundos tem o arco de 5°15'?
[RESOLUÇÃO]
1°________3600s
5°________ Z
X =1800

Relações Fundamentais

1-) Num triângulo retângulo de catetos b e c e hipotenusa a temos de acordo com o Teorema de Pitágoras:

a²=b²+c²

Assim sendo, se X for a medida do ângulo agudo B temos:

2-) Num triângulo retângulo de catetos b e c e hipotenusa a, se X for a medida do ângulo agudo B temos:

3-) Co-tangente.
A co-tangente de ângulo agudo X é, por definiçãoo inverso da tangente. É representado como símbolo cotg X. Assim sendo:



4-) Secante.
A secante de um de um ângulo agudo X é, por definição o inverso do cosseno. É representado sec X. Assim sendo:



5-)Co-secante.
A co-secante de um ângulo agudo X é, com definição o inverso do seno. É representado com o simbola cossec X. Assim sendo:

6-)Relações auxiliares.
a-)Dividindo ambos os membros da relação fundamental, sen²x + cos²x=1, por cos²x;


b-)dividindo ambos os membros da relação fundamental, sen²x+cos²x=1, por sen²x;


De (a) e (b) temos:Exercicios:

1-)Observando o triângulo da figura, podemos afirmar que a figura a baixo vale:

a-)1/5

b-)1/25

c-)2/5

d-)3/45

e-)2/5


Resolução:




Alternativa correta: A

Aula 18; 19; 20: Arcos notáveis

Amigos e amigas, a trigonometria não é um bicho de sete cabeças!

Existem ângulos que possuem os valores do SENO, do COSSENO e da TANGENTE fixos, são os chamados ARCOS NOTÁVEIS!

Esse caso pode ser notado nos seguintes ângulos :

Exercícios para você que ainda não entendeu a Matéria:

1° -> Duas rodovias A e B encontram-se em C, formando um ângulo de 30°. Na rodovia A existe um posto de gasolina que dista 5 Km de C. A distância do posto de gasolina à rodovia B é :

a-)5 Km
b-)10 Km
c-)2,5 Km
d-)15 Km
e-)1,25 Km
Resolução:
Sen. 30° = D/5.
1/2 = D/5.
2D = 5.
D = 2,5 Km. Alternativa C



2-> (Mackenzie): Na figura,a bissetriz AD é:

a-) 2
b-) 1
c-) 5/3
d-) 2/3
e-) 3



Resolução:

a+4a+a= 180°
6a = 180°
a = 30°


Sen30° = X/2
1/2 = X/2
2X = 2
X = 1 Alternativa B

Aula 17:Seno, Cosseno e Tangente

Se o seu maior pesadelo é aprender Matemática; a solução está aqui. Este é o único site amigo onde você aprende se divertindo. Veja a nossa primeira matéria sobre trigonometria no triângulo retângulo.

A palavra trigonometria é originária do grego(Trigonometría) e significa "medida de três ângulos, e é derivada da junção de três palavras gregas:
Tri-[ do grego tri ]: Exprime a idéia de três vezes
Gono-[ do grego gony]: Exprime a idéia de ângulo
Metria-[ metro + ia ]: medidas.

Considerando um triângulo ABC, reto em A, temos:


Os ângulos B e C são agudos (medida inferior a 90°) e complementares, ou seja, B+C=90°.
Qualquer um dos lados do triângulo recebe o nome de cateto(b e c), e o lado oposto ao ângulo reto (a ) recebe o nome de Hipotenusa.

A partir desse triângulo retângulo obtemos três relações:
(1)Seno (do latim sinu) = sen
(2)Cosseno (co+seno) = cos
(3) Tangente (do latim tangente) = tg

• Seno de um ângulo agudo B de um triângulo retângulo é a razão (divisão) entre a medida do cateto oposto a B e a medida da hipotenusa:

Sen B = medida do cateto oposto a B = b

medida da hipotenusa a

A mesma regra é válida para o ângulo agudo C:

Sen C = medida do cateto oposto a C = c

medida da hipotenusa a

• Cosseno de um ângulo agudo B de um triângulo retângulo é a razão entre a medida do cateto adjacente a B (qualquer um dos lados " ligado" ao ângulo reto e ao ângulo agudo em questão, no caso o ângulo B ) e a medida da hipotenusa:

. Cos B = medida do cateto adjacente a B = c

. medida da hipotenusa a

A mesma regra é válida para o ângulo agudo C:

. Cos C = medida do cateto adjacente a C = b

. medida da hipotenusa a

• Tangente de um ângulo agudo B de um triângulo retângulo é a razão do cateto oposto a B e a medida do cateto adjacente:

. Tg B = medida do cateto oposto a B = b

. medida do cateto adjacente a B c

A mesma é válida para o ângulo agudo C:

. Tg C = medida do cateto oposto a C = c

. medida do cateto adjacente a C b

Exercícios desta aula:

1-) Uma folha de papel retangular é dobrada, conforme a figura ao lado. Determine o valor de 40. tg Y



Resolução:

10² = x² + 8²
100 = x² + 64
x² = 100 - 64
x² = 36
x = 6

40. tg Y
40. 6/8 = 40
40. 3/4 = 40
40/4 = 3

O valor de 40.tg de Y = 30

2-) (UNESP) A figura mostra duas circunferências de raios 8cm e 3cm, tangentes entre si e tangentes à reta r. C e D são os centros das circunferências.

Se X é a medida do ângulo CÔP, o valor de sen X é:

a-)1/6
b-)5/11
c-)1/2
d-)8/23
e-)3/8

Resolução:

cateto oposto de X > 8-3 = 5cm
hipotenusa do triângulo > 8+3 = 11cm
Sen X= 5/11


Alternativa B